Question

6．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是线段CD上一动点，且CN=λND．
（Ⅰ）当$λ=\frac{1}{2}$时，求证：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）当λ=1时，求二面角M-NA-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ，推导出MP⊥平面EFDA，NQ⊥EF，NQ⊥FD，从而NQ⊥平面EFDA，进而MP$\underset{∥}{=}$NQ，由此能证明MN∥平面ADFE．
（Ⅱ）以F为坐标原点，FE为x轴，FD为y轴，FC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-NA-F的大小的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ．
由题意，平面EFCB⊥平面EFDA，MP⊥EF，
∴MP⊥平面EFDA，（2分）
且MP=$\frac{BE+CF}{2}$=2，
∵EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF=F，
∴EF⊥平面CFD，又NQ?平面CFD，∴NQ⊥EF，
又NQ⊥FD，∴NQ⊥平面EFDA，（4分）
又CN=$\frac{1}{2}ND$，则NQ=$\frac{2}{3}CF=2$，即MP$\underset{∥}{=}$NQ，
∴MN∥PQ且PQ?平面ADFE，∴MN∥平面ADFE．（6分）
解：（Ⅱ）以F为坐标原点，FE为x轴，FD为y轴，FC为z轴，建立如图所示坐标系．
由题意，M（1，0，2），A（2，1，0），F（0，0，0），C（0，0，3），D（0，3，0），$N（0，\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$，
设平面AMN的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{AM}$=（-1，-1，2），$\overrightarrow{AN}$=（-2，$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AM}=-a-b+2c=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AN}=-2a+\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n_1}=（1，1，1）$，…（8分）
在平面FAN中，$\overrightarrow{FA}$=（2，1，0），$\overrightarrow{FN}=（0，\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$，
设平面FAN的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{FA}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{FN}=\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n_2}=（1，-2，2）$，（10分）
则$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\sqrt{3}}}{9}$，
又由图可知二面角M-NA-F的平面角是锐角，
所以二面角M-NA-F的大小的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{9}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．