Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP=AB=AC=a， ，PA⊥底面ABCD．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值为 ？若存在，求出 的值？若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ACD中，AC=a，CD=a，AD= a，

由勾股定理得：CD⊥AC

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，

AC面PAC，PA面PAC，PA∩AC=A

∴CD⊥面PAC

又∵CD面PCD

∴平面PCD⊥平面PAC

（2）解：（由（1）知：AB⊥AC，又PA⊥底面ABCD

∴以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系

则A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），

D（﹣a，a，0），P（0，0，a）

假设点E存在，且λ= ，则 =λ （xE，yE﹣a，zE）=λ（0，﹣a，a）

∴xE=0，yE=（1﹣λ）a，zE=λa

=（a，0，0） =（0，（1﹣λ）a，λa）， =（﹣a，a，0）

设平面BAE的法向量为 =（x1，y1，z1），平面DAE的法向量为 =（x2，y2，z2），

则 ，取y1=λ，得 ，

，取x2=λ，得 =（λ，λ，λ﹣1）

cos＜ ＞= = = ，

由题意：|cos＜ ＞|= = ，

整理得：3（2λ2﹣2λ+1）=2（3λ2﹣2λ+1），解得λ= ，

∴棱PC上存在一点E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值为﹣ ，且此时λ= ．

【解析】（1）由勾股定理得：CD⊥AC，由线面垂直得PA⊥CD，从而CD⊥面PAC，由此能证明平面PCD⊥平面PAC．（2）以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．