【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+b满足f(1)=0,且在x=2时函数取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)求函数f(x)在区间[0,t](t>0)上的最大值g(t)的表达式.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x3+ax2+b,
∴f′(x)=3x2+2ax,
∵函数f(x)在x=2时函数取得极值,
∴f′(2)=0,即12+4a=0,
∴a=﹣3,
又∵f(1)=1﹣3+b=0,
∴b=2,
综上a=﹣3、b=2
(2)解:由(1)可知f(x)=x3﹣3x2+2,
∴f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2),
∵x<0时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增;
∵0<x<2时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,2)上单调递减;
∵x>2时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递增;
∴函数f(x)的单调递减区间为:(0,2),
单调递增区间为:(﹣∞,0)∪(2,+∞)
(3)解:令f(x)=f(0),即x3﹣3x2+2=2,
解得:x=0或x=3,
∵函数f(x)在(0,2)上单调递减,
∴当t∈(0,2]时,g(t)=f(0)=2;
∵函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,且f(3)=f(0)=2,
∴当t∈(2,3]时,g(t)=f(3)=2;
当t∈(3,+∞)时,g(t)=f(t)=t3﹣3t2+2;
综上所述,g(t)= .
【解析】(1)通过f′(2)=0及f(1)=0,计算即得结论;(2)通过对函数f(x)=x3﹣3x2+2求导,进而可判断单调区间;(3)通过函数在[0,+∞)上的单调性,结合最值的概念,画出草图,计算即得结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】甲、乙、丙、丁四位同学得到方程2x+e﹣0.3x﹣100=0(其中e=2.7182…)的大于零的近似解依次为①50;②50.1;③49.5;④50.001,你认为的答案为最佳近似解(请填甲、乙、丙、丁中的一个)
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【题目】已知函数 .
(Ⅰ)当a>0时,求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)﹣k(x+2)+2.若函数g(x)在区间 上有两个零点,求实数k的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)若, 是直线与轴的交点, 是圆上一动点,求的最大值;
(Ⅱ)若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍,求的值.
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【题目】为了解某市的交通状况,现对其6条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表:
评估的平均得分 | |||
全市的总体交通状况等级 | 不合格 | 合格 | 优秀 |
(1)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级;
(2)用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.
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【题目】若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)﹣g(x)=ex , 则有( )
A.f(2)<f(3)<g(0)
B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3)
D.g(0)<f(2)<f(3)
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【题目】海南中学对高二学生进行心理障碍测试得到如下列联表:
焦虑 | 说谎 | 懒惰 | 总计 | |
女生 | 5 | 10 | 15 | 30 |
男生 | 20 | 10 | 50 | 80 |
总计 | 25 | 20 | 65 | 110 |
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大?
参考数据:K2=
P(K2≥k) | 0.5 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.535 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某市教育局委托调查机构对本市中小学学校使用“微课掌上通”满意度情况进行调查.随机选择小学和中学各50所学校进行调查,调查情况如表:
评分等级 | ☆ | ☆☆ | ☆☆☆ | ☆☆☆☆ | ☆☆☆☆☆ |
小学 | 2 | 7 | 9 | 20 | 12 |
中学 | 3 | 9 | 18 | 12 | 8 |
(备注:“☆”表示评分等级的星级,例如“☆☆☆”表示3星级.)
(1)从评分等级为5星级的学校中随机选取两所学校,求恰有一所学校是中学的概率;
(2)规定:评分等级在4星级以上(含4星)为满意,其它星级为不满意.完成下列2×2列联表并帮助判断:能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用是否满意与学校类别有关系?
学校类型 | 满意 | 不满意 | 总计 |
小学 | 50 | ||
中学 | 50 | ||
总计 | 100 |
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