Question

12．已知三棱锥P-ABC的底面边长为4$\sqrt{2}$的正三角形，PA=3，PB=4，PC=5，若0为△ABC的中心，则PO=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用题目给出的边长通过余弦定理求角，再由余弦定理求得PO．

解答 解：如图，
在△ABC中，连接BO并延长交AC于D，
∵O为△ABC的中心，∴BD为AC边上的中线，
又AB=BC=AC=$4\sqrt{2}$，∴BD=$2\sqrt{6}$．
在△PAC中，∵PA=3，PC=5，AC=4$\sqrt{2}$，
∴$cos∠PCD=\frac{{5}^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}-{3}^{2}}{2×5×4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$．
∴$P{D}^{2}={5}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-2×5×2\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{5}$=9．
∴$cos∠PBD=\frac{{4}^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}-9}{2×4×2\sqrt{6}}$=$\frac{31\sqrt{6}}{96}$．
在△PBO中，$P{O}^{2}={4}^{2}+（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}-2×4×\frac{4\sqrt{6}}{3}×\frac{31\sqrt{6}}{96}$=6．
∴PO=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查余弦定理的应用，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．