Question

已知函数f（x）=sinx+cos（x-

π

6

），x∈R．
（I）求f（x）的单调增区间及f（x）图象的对称轴方程；
（II）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大小．

Answer 1

分析：（1）将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f（x）=

3

sin（x+

π

6

）．再根据正弦函数单调区间和对称轴的公式，不难求出f（x）的单调增区间及f（x）图象的对称轴方程；
（2）由b=2af（A-

π

6

）结合（1）的表达式，得b=2

3

asinA，再用正弦定理结合二倍角的正弦公式，算出cosA=

3

sinA，得tanA=

3

3

，结合特殊角的正切值得到A=

π

6

，所以B=2A=

π

3

，最后根据三角形内角和定理，可得角C的大小．

解答：解   （1）f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）=sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx=

3

2

sinx+

3

2

cosx
∴f（x）=

3

（sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

）=

3

sin（x+

π

6

）
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z），得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ
单调增区间为[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，（k∈Z）
再设x+

π

6

=

π

2

+kπ，（k∈Z），得x=

π

3

+kπ，（k∈Z），即为f（x）图象的对称轴方程；
（2）∵f（A-

π

6

）=

3

sin[（A-

π

6

）+

π

6

]=

3

sinA，
∴b=2af（A-

π

6

）=2

3

asinA，
∵b：a=sinB：sinA，
∴sinB=2

3

sinAsinA，即2sinAcosA=2

3

sinAsinA
∵A是三角形内角，sinA＞0
∴2cosA=2

3

sinA，得tanA=

3

3

∵A∈（0，π），∴A=

π

6

，得B=2A=

π

3

因此，C=π-（A+B）=

π

2

点评：本题将一个三角函数式进行化简，并求函数的单调区间和图象的对称轴，着重考查了三角函数的化简与求值、三角函数的图象与性质、同角三角函数基本关系和二倍的三角函数等知识，属于中档题．