Question

11．己知点A（3，1），点B（2，-1），点C（-2，3）O为原点．则：
（1）$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$=（-$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{3}$）；（写出坐标形式结论）
（2）线段AC中点坐标为（$\frac{1}{2}$，2）；
（3）设四边形ABCD为平行四边形，则$\overrightarrow{OD}$坐标为（-1，5）
（4）设△ABC重心G（三角形三条中线交点），则$\overrightarrow{OG}$坐标为（1，1）．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标运算计算即可；
（2）根据线段中点坐标写出即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，即可得出$\overrightarrow{OD}$坐标；
（4）根据△ABC的重心坐标即可求出点G的坐标．

解答 解：（1）点A（3，1），点B（2，-1），点C（-2，3），O为原点；
则$\overrightarrow{BC}$=（-4，4），$\overrightarrow{BA}$=（1，2），
∴$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$=（-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$）=（-$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
（2）∵x=$\frac{3-2}{2}$=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1+3}{2}$=2，
∴线段AC的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，2）；
（3）设点D（x，y），
由四边形ABCD为平行四边形，
得$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，
即（x-3，y-1）=（-4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3=-4}\\{y-1=4}\end{array}\right.$，
解得x=-1，y=5，
∴$\overrightarrow{OD}$坐标为（-1，5）；
（4）设△ABC重心G（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+2-2}{3}=1}\\{y=\frac{1-1+3}{3}=1}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OG}$坐标为（1，1）．
故答案为：（1）（-$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{3}$），（2）（$\frac{1}{2}$，2），（3）（-1，5），（4）（1，1）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与线段中点坐标以及平行四边形和三角形的重心坐标公式应用问题，是基础题目．