Question

15．若两圆C₁：（x-a₁）²+（y-b₁）²=r²、C₂：（x-a₂）²+（y-b₂）²=r²相离，则曲线系[（x-a₁）²+（y-b₁）²-r²]+λ[（x-a₂）²+（y-b₂）²-r²]=0，当λ=-1时表示的曲线与圆C₁、圆C₂的位置关系是怎样的？请你给出证明．

Answer 1

分析 两圆C₁：（x-a₁）²+（y-b₁）²=r²、C₂：（x-a₂）²+（y-b₂）²=r²相离，可得（a₂-a₁）²+（b₂-b₁）²＞4r²，当λ=-1时，曲线表示直线，利用圆心C₁到直线的距离d=$\frac{（{a}_{2}-{a}_{1}）^{2}+（{b}_{2}-{b}_{1}）^{2}}{2\sqrt{（{a}_{2}-{a}_{1}）^{2}+（{b}_{2}-{b}_{1}）^{2}}}$＞r，即可得出结论．

解答 解：∵两圆C₁：（x-a₁）²+（y-b₁）²=r²、C₂：（x-a₂）²+（y-b₂）²=r²相离，
∴（a₂-a₁）²+（b₂-b₁）²＞4r²，
当λ=-1时，曲线[（x-a₁）²+（y-b₁）²-r²]+λ[（x-a₂）²+（y-b₂）²-r²]=0化为
2（a₂-a₁）x+2（b₂-b₁）y+a₁²-a₂²+b₁²-b₂²=0，表示直线
圆心C₁到直线的距离d=$\frac{（{a}_{2}-{a}_{1}）^{2}+（{b}_{2}-{b}_{1}）^{2}}{2\sqrt{（{a}_{2}-{a}_{1}）^{2}+（{b}_{2}-{b}_{1}）^{2}}}$＞r，
∴当λ=-1时表示的曲线与圆C₁相离．
同理，与圆C₂相离．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．