Question

14．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-1，a_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n
（2）求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将n换为n-1，两式相减，再由等比数列的通项公式，即可得到所求，注意运用分段数列的形式；
（2）由等比数列的求和公式，注意从第二项开始，即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₁=-1，a_n+1=2S_n，
可得a_n=2S_n-1，n＞1．
两式相减可得，a_n+1-a_n=2a_n，
即有a_n+1=3a_n，
由a₂=2S₁=2a₁=-2，
则a_n=a₂•3^n-2=-2•3^n-2，
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{-2•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）前n项和T_n=-1+（-2）+（-2）•3+…+（-2）•3^n-2
=-1+（-2）•$\frac{1-{3}^{n-1}}{1-3}$=-3^n-1．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用下标变换相减法，考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题和易错题．