Question

如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，CE=λAF（λ＞1）．
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为

3 2

10

，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）方法1（几何法）：连接BD、AC，交点为O，由正方形的性质得BD⊥AC，由线面垂直的性质，可得AF⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACEF，进而BD⊥EF；
（I）方法2（向量法）：建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出BD和EF的方向向量，进而根据两个向量的数量积为0，可得BD⊥EF；
（Ⅱ）方法1：连接OE，由（Ⅰ）方法1知，BD⊥平面ACEF，所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角，解Rt△BEO可得λ值．
（Ⅱ）方法2：由

BE

=（0，1，λ），

BD

=（-1，1，0）是平面ACE的法向量．则直线BE与面ACE所成角为θ满足sinθ=

3 2

10

，代入可得λ值．

解答：证明：（Ⅰ）方法1（几何法）：
连接BD、AC，交点为O．
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC   …（2分）
∵AF⊥平面ABCD
∴AF⊥BD       …（4分）
又∵AC∩AF=A，AC，AF?平面ACEF
∴BD⊥平面ACEF               　…（6分）
又∵EF?平面ACEF
∴BD⊥EF                        …（7分）
方法2：如图建立空间直角坐标系A-xyz，
∵B（1，0，0），D（0，1，0）
∴

BD

=（-1，1，0）…（2分）
设F（0，0，h），那么E（1，1，λh），…（4分）
则

EF

=（-1，-1，（1-λ）h）        …（5分）
∴

BD

•

EF

=0
∴BD⊥EF     …（7分）
（Ⅱ）方法1：连接OE，由（Ⅰ）方法1知，BD⊥平面ACEF，
所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角． 　　　　 …（10分）
∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF，
∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC，
∵BC=1，AF=1，则CE=λ，BE=

1+λ2

，BO=

2

2

，
∴Rt△BEO中，sin∠BEO=

EO

BE

=

2

2 1+λ2

=

3 2

10

，…（13分）
因为λ＞1，解得λ=

4

3

．　　　　　　　　　　　      　…（15分）
方法2：∵

BE

=（0，1，λ），由（Ⅰ）法1知，BD⊥平面ACEF，
故

BD

=（-1，1，0）是平面ACE的法向量．　               …（10分）
记直线BE与面ACE所成角为θ，
则sinθ=

| BD • BE |

| BD |•| BE |

=

1

2 • 1+λ2

=

3 2

10

…（13分）；
因为λ＞1，解得λ=

4

3

…（15分）

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．建立空间坐标系，将空间直线与平面夹角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．