Question

某人定制了一批地砖.每块地砖〔如图(1)所示〕是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形.

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

(1)

(2)

Answer 1

思路分析：(1)由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE,△CFG,△CGH,△CEH为等腰直角三角形即可；(2)建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x，每块地砖的费用为W，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.

解：(1)图(2)可以看成是由四块图(1)所示的地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF，∠ECF=90°,

∴△CFE为等腰直角三角形.

同理,可得△CFG,△CGH,△CEH为等腰直角三角形.

∴四边形EFGH是正方形.

(2)设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，设制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，

W=x²·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16x²×0.4×(0.4-x)］a

=a(x²-0.2x+0.24)

=a［(x-0.1)²+0.23］(0＜x＜0.4).

由于a＞0，则当x=0.1时，W有最小值，即总费用为最省,

即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.