Question

已知函数f（x）=x|x-2|（x∈R），若存在正实数k，使得方程f（x）=k在区间（0，+∞）上有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

• A．(1，1+

  2

  )
• B．(2，1+

  2

  )
• C．(3，3+

  2

  )
• D．(4，3+

  2

  )

Answer 1

分析：由题意写出分段函数，画出图形后由图形可得答案．

解答：解：函数f（x）=x|x-2|=

x2-2x(x≥2) -x2+2x(x＜2)

．
其图象如图，
方程f（x）=k由3个根，则0＜k＜1，
不妨设y=k与y=-x²+2x（x＜2）的两个焦点的横坐标为x₁，x₂，
与y=x²-2x（x≥2）焦点的横坐标为x₃．
则x₁+x₂=2，当k接近1时x₃接近最大，由x²-2x=1解得x₃接近1+

2

．
∴x₁+x₂+x₃的取值范围是（4，3+

2

）．
故选D．

点评：本题考查了根的存在性即根的个数的判断，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．