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直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中,AB⊥AC,AB=AC=a,D为CC1的中点,
CC1
AC

(1)λ为何值时,A1D⊥平面ABD;
(2)当A1D⊥平面ABD时,求C1到平面ABD的距离;
(3)当二面角A-BD-C为60°时,求λ的值.
AB
AC
AA1
为正交基底建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),C1(0,a,λa),D(0,a,
1
2
λa),A1
(0,0,λa)
(1)
A1D
=(0,a,-
λa
2
),
AD
=(0,a,
λa
2
)

∵A1D⊥平面ABD∴A1D⊥AD
∴0+a2-
λ2a2
4
=0有λ=2
(2)λ=2时,
C1D
=(0,0,-a),
A1D
=(0,a,-a)
C1到平面ABD的距离d=|
C1D
A1D
|
A1D
|
|=
2
2
a
(3)取BC中点E,连接AE,则AE⊥BC,又BB1⊥AE∴AE⊥平面BCD
AE
=(
a
2
a
2
,0),设
m
=(x,y,z)为平面ABD的一个法向量

m
AB
=0
m
AD
=0
x=0
y=-
λz
2

取z=1得
m
=(0,-
λ
2
,1),由cos60°=|
m
AE
|
m
|•|
AE
|
|得λ=2
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正(主)视图和侧(左)视图(单位:cm).
(1)画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(3)在所给直观图中连接BC',证明:BC'平面EFG.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DCAB,∠BAD=90°,且AB=2AD=2DC=2PD=4(单位:cm),E为PA的中点.
(1)证明:DE平面PBC;
(2)证明:DE⊥平面PAB.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,BB1的中点.
(1)求证:平面A1BC1平面ACD1
(2)求异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.
(1)求证:直线BD1平面PAC;
(2)求证:平面PAC⊥平面BDD1
(3)求证:直线PB1⊥平面PAC.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线l⊥平面α,有以下几个判断:
①若m⊥l,则mα,
②若m⊥α,则ml
③若mα,则m⊥l,
④若ml,则m⊥α,
上述判断中正确的是(  )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=
6
,∠BAC=60°,E为AC的中点;现将△ACD沿对角线AC折起,使点D在平面ABC上的射影H落在BC上.
(1)求证:AB⊥平面BCD;
(2)求三棱锥D-ABE的体积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.
(1)证明:AE⊥PD;
(2)设AB=2,若H为线段PD上的动点,EH与平面PAD所成的最大角的正切值为
6
2
,求此时异面直线AE和CH所成的角.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;
(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

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