Question

某著名景区新近开发一种旅游纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向地方税务部门上交3元的税收．设每件纪念品的售价为x元（30≤x≤40），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件纪念品的售价为40元时，销售量为10件．
（1）求该景区的日利润L（x）元与每件纪念品的售价x元的函数关系式；
（2）当每件纪念品的售价为多少元时，该景区的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据日销售量与e^x成反比例，确定日售量，再结合利润=收入-支出问题可得函数关系式；
（2）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的最值．

解答：解：（1）设日销售量为

k

ex

∵每件纪念品的售价为40元时，销售量为10件，
∴

k

e40

=10，∴k=10e⁴⁰，则日售量为

10e40

ex

件
∴日利润L（x）=（x-30-3）

10e40

ex

=（x-33）

10e40

ex

（30≤x≤40），
（2）求导函数，可得L′（x）=

10e40

ex

（34-x）
令L′（x）＞0，可得30≤x＜34；令L′（x）＜0，可得34＜x≤40
∴函数在[30，34）上，函数单调增，在（34，40]上，函数单调减
∴x=34时，L（x）取极大值，且为最大值，最大值为10e⁶．

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题．