【题目】设数列{an},{bn},{cn}满足a1=a,b1=1,c1=3,对于任意n∈N* , 有bn+1= ,cn+1=
.
(1)求数列{cn﹣bn}的通项公式;
(2)若数列{an}和{bn+cn}都是常数项,求实数a的值;
(3)若数列{an}是公比为a的等比数列,记数列{bn}和{cn}的前n项和分别为Sn和Tn , 记Mn=2Sn+1﹣Tn , 求Mn< 对任意n∈N*恒成立的a的取值范围.
【答案】
(1)解:由于bn+1= ,cn+1=
.
cn+1﹣bn+1= (bn﹣cn)=﹣
(cn﹣bn),
即数列{cn﹣bn}是首项为2,公比为﹣ 的等比数列,
所以cn﹣bn=2(﹣ )n﹣1
(2)解:bn+1+cn+1= (bn+cn)+an,
因为b1+c1=4,数列{an}和{bn+cn}都是常数项,
即有an=a,bn+cn=4,
即4= ×4+a,解得a=2
(3)解:数列{an}是公比为a的等比数列,即有an=an,
由Mn=2Sn+1﹣Tn=2(b1+b2+…+bn)﹣(c1+c2+…+cn)
=2b1+(2b2﹣c1)+(2b3﹣c2)+…+(2bn+1﹣cn)
=2+a+a2+…+an,
由题意可得a≠0且a≠1,0<|a|<1.
由2+ <
对任意n∈N*恒成立,
即有2+ ≤
,
解得﹣1<a<0或0<a≤ .
故a的取值范围是(﹣1,0)∪(0, ]
【解析】(1)根据条件建立方程关系即可求出求数列{cn﹣bn}的通项公式;(2)b1+c1=4,数列{an}和{bn+cn}都是常数项,即有an=a,bn+cn=4,即可得到a=2;(3)由等比数列的通项可得an=an , 由Mn=2b1+(2b2﹣c1)+(2b3﹣c2)+…+(2bn+1﹣cn)=2+a+a2+…+an , 由题意可得a≠0且a≠1,0<|a|<1.运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想,计算即可得到a的范围.
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式(及其变式)和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握通项公式:;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
才能正确解答此题.
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【题目】在直线l:3x-y-1=0上求点P和Q,使得
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(2)点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
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=1,sin∠BCD=
.
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(2)求四边形ABCD的面积;
(3)求sinD的值.
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(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a﹣1)成立,求实数a的取值范围.
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,圆C的方程为
(θ为参数).
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(2)求圆C上的点到直线l距离的最大值.
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