思路解析:设出适当的变量,建立关于|AB|的函数关系式,利用函数求最值.
解法一:设直线l的方程是my=x-(m∈R),A(x1,y1),B(x2,y2),F(,0).
由得y2=2p(my+).
∴y2-2pmy-p2=0.
∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.
∴|AB|=
=
=
=
=
=2p(m∈R)
=2p(1+m2)≥2p(1+0)=2p.
∴|AB|min=2p.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2).
则|AF|=x1+,|BF|=x2+.
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.
∵y2=2px(p>0),
∴x1≥0,x2≥0.
∴x1+x2≥2.
设直线l:my=x-(m∈R),
由得y2=2p(my+).
∴y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.
∴x1x2=(my1+)(my2+)
=m2y1y2+m(y1+y2)+
=m2(-p2)+m(2pm)+
=.
∴x1+x2≥2=p.
∴|AB|=x1+x2+p≥p+p=2p.
∴|AB|min=2p.
解法三:如图所示.设直线l的倾斜角为θ,则直线l的方程是
ycosθ=(x-)sinθ.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由消去y,得x2sin2θ-p(1+cos2θ)x+sin2θ=0,
∴x1+x2=.
∴|AB|=|AF|+|FB|=x1-+x2+=+p=≥2p.
∴|AB|min=2p.
深化升华
本题解答可以得到结论:通径是焦点弦长的最小值,即焦点弦长的最小值是通径长2p.
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖北省襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年安徽省巢湖市高三(上)质量检测数学试卷(理科)(解析版) 题型:填空题
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