Question

如图，是函数y=(

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)x和y=3x²图象的一部分，其中x=x₁，x₂（-1＜x₁＜0＜x₂）时，两函数值相等．
（1）给出如下两个命题：①当x＜x₁时，(

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)x＜3x2；②当x＞x₂时，(

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)x＜3x2，试判定命题①②的真假并说明理由；
（2）求证：x₂∈（0，1）．

Answer 1

分析：（1）命题①是假命题，可以举反例：取x=-10，进行验证即可；命题②是真命题，利用函数y=(

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)x在[x₂，+∞）上是减函数，函数y=3x²在[x₂，+∞）上是增函数，即可证得；
（2）先将函数图象交点范围问题转化为函数f(x)=3x2-(

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)x，的零点问题，再利用零点存在性定理，判断零点范围即可作出证明．

解答：解：（1）命题①是假命题，可以举反例：取x=-10，则x＜x₁，但是(

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)-10=1024，3×（-10）²=300，(

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)x＜3x2不成立；
命题②是真命题，∵函数y=(

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)x在[x₂，+∞）上是减函数，函数y=3x²在[x₂，+∞）上是增函数，
∴当x＞x₂时，(

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)x＜(

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)x2=3

x

2 2

＜3x2；
（2）构造函数f(x)=3x2-(

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)x，则f（0）=-1＜0，f(1)=

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＞0，
∴f（x）在区间（0，1）内有零点，又∵函数f(x)=3x2-(

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)x在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在区间（0，1）内的零点唯一，即x₂，
∴x₂∈（0，1）；

点评：本题主要考查了函数零点的存在性定理和零点范围的判断方法，函数零点问题与函数图象交点问题间的联系和相互转化，一定的运算能力和比较大小能力