Question

（2013•安徽）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（

2

，

3

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2

2

），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的焦距为4，得到c=

a2-b2

=2，再由点P（

2

，

3

）在椭圆C上得到

2

a2

+

3

b2

=1，两式联解即可得到a²=8且b²=4，从而得到椭圆C的方程；
（II）由题意得E（x₀，0），设D的坐标为（x_D，0），可得向量

AE

、

AD

的坐标，根据AD⊥AE得

AD

•

AE

=0，从而算出x_D=-

8

x0

，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（

8

x0

，0）．直线QG的斜率为k_QG=

x0y0

x02-8

，结合点Q是椭圆C上的点化简得k_QG=-

x0

2y0

，从而得到直线QG的方程为：y=-

x0

2y0

（x-

8

x0

），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．

解答：解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的焦距为4，
∴c=2，可得

a2-b2

=2…①
又∵点P（

2

，

3

）在椭圆C上
∴

2

a2

+

3

b2

=1…②
联解①②，可得a²=8且b²=4，椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（II）由题意，得E点坐标为（x₀，0），
设D（x_D，0），可得

AE

=（x₀，-2

2

），

AD

=（x_D，-2

2

），
∵AD⊥AE，可得

AD

•

AE

=0
∴x₀x_D+（-2

2

）•（-2

2

）=0，即x₀x_D+8=0，得x_D=-

8

x0

∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（

8

x0

，0）
因此，直线QG的斜率为k_QG=

y0

x0- 8 x0

=

x0y0

x02-8

又∵点Q（x₀，y₀）在椭圆C上，可得x02+2y02=8
∴k_QG=

x0y0

-2y02

=-

x0

2y0

由此可得直线QG的方程为：y=-

x0

2y0

（x-

8

x0

），
代入椭圆C方程，化简得（x02+2y02）x²-16x₀x+64-16y02=0
将x02+2y02=8和8-2y02=x 02代入上式，得8x²-16x₀x+8x02=0，
化简得x²-2x₀x+x02=0，所以△=(2x02)-4x02=0，
从而可得x=x₀，y=y₀是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．
综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．

点评：本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点P的坐标，求椭圆的方程并由此讨论直线QG与椭圆公共点的个数问题．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．