Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{{e}^{x}-a}$（e为自然对数的底数，a∈R），若存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，则实数a的取值范围是[1，e-1]．

Answer 1

分析 利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．

解答 解：∵存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，
∴存在x∈[0，1]，使f（x）=f^-1（x），
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[0，1]上有交点．
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}-a}$（在[0，1]上为增函数，
∴函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[0，1]的交点在直线y=x上，
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）的交点就是f（x）与y=x的交点．
令$\sqrt{{e}^{x}-a}$=x，则方程在[0，1]上一定有解．
∴a=e^x-x²，
设g（x）=e^x-x²，
则g′（x）=e^x-2x，令h（x）=e^x-2x，h′（x）=e^x-2，
当x＞ln2时，h′（x）＞0，当x＜ln2时，h′（x）＜0，
即有x=ln2处取得最小值2-2ln2＞0，
即g′（x）＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=e^x-x²在[0，1]上递增，
∴a=g（x）≥g（0）=1，
g（x）≤g（1）=e-1；
综上可知，1≤a≤e-1．
故答案为：[1，e-1]．

点评 本题主要考察了复合函数的性质，综合性较强，属于难题．