Question

已知函数f（x）=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，求b的值；
（2）证明：函数f（x）=x+

a

x

（常数a＞0）在（0，

a

]上是减函数；
（3）设常数c∈（1，9），求函数f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件知

2b

=4，由此可知求出b值；
（2）由已知中函数的解析式，求出函数的导函数，判断导数在（0，

a

]上的符号，进而可由导数符号与函数单调性的关系得到答案．
（3）由常数c∈（1，9），可得

c

的范围，根据已知可得当x=

c

时，函数取最小值，比较f（1）与f（3）的大小，可得函数的最大值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x+

a

x

在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数
且函数y=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，
故

2b

=4
解得b=4
证明：（2）∵函数f（x）=x+

a

x

（常数a＞0）
∴f（x）=1-

a

x2

，
当x∈（0，

a

]时，x²≤a
即

a

x2

≥1，
此时f（x）=1-

a

x2

≤0恒成立
故函数f（x）=x+

a

x

（常数a＞0）在（0，

a

]上是减函数
（3）当c∈（1，9）时，

c

∈（1，3）
故当x=

c

时，函数取最小值2

c

而f（1）-f（3）=

2(c-3)

3

故当1＜c≤3时，函数的最大值是f（3）=3+

c

3

当3＜c＜9时，函数的最大值是f（1）=1+c

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其意义，函数单调性的性质，熟练掌握对勾函数f（x）=x+

a

x

（常数a＞0）的图象和性质是解答本题的关键．