Question

某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0),因此，历年所交纳的储备金数目a₁,a₂,…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁(1+r)^n-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂(1+r)^n-2,…….以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额.

（1）写出T_n与T_n-1(n≥2)的递推关系式；

（2）求证：T_n=A_n+B_n,其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列.

Answer 1

（1）T_n=T_n-1(1+r)+a_n(n≥2)（2）证明见解析

解析:

（1）解  我们有T_n=T_n-1(1+r)+a_n(n≥2).

（2）证明  T₁=a₁,对n≥2反复使用上述关系式，得

T_n=T_n-1(1+r)+a_n

=T_n-2(1+r)²+a_n-1(1+r)+a_n

=…

=a₁(1+r)^n-1+a₂(1+r)^n-2+…+a_n-1(1+r)+a_n.                               ①

在①式两端同乘1+r，得

(1+r)T_n=a₁(1+r)ⁿ+a₂（1+r）^n-1+…+a_n-1(1+r)²

+a_n(1+r).                                                          ②

②-①,得

rT_n=a₁(1+r)ⁿ+d［(1+r)^n-1+(1+r)^n-2+…+(1+r)］-a_n

=［(1+r)ⁿ-1-r］+a₁(1+r)ⁿ-a_n,

即T_n=(1+r)ⁿ-n-.

如果记  A_n=(1+r)ⁿ,B_n=--n,

则  T_n=A_n+B_n,

 其中{A_n}是以(1+r)为首项，以1+r（r＞0）为公比的等比数列；{B_n}是以--为首项，-为公差的等差数列.