Question

在一个人数很多的单位中普查某种疾病，n个人去验血，可以用两种方案进行：

（1）每个人的血分别化验，这需要n次；

（2）按k个人一组进行分组，把k个人的血混在一起化验，如果结果是阴性的，那么这k个人只作一次化验就够了，如果结果是阳性的，那么就必须对这k个人逐一化验，即对这k个人进行k+1次化验，假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的化验是相互独立的，求按第二种方案这n个人平均需要化验的次数.

 

Answer 1

点拔：第二种方案中k个人一组化验，呈阴性和呈阳性时每个人的血化验的次数为随机变量ξ的取值，所以第二种方案这n个人平均化验的次数即为nEξ.

解析：按第二种方案，k个人一组化验，若混合呈阴性，则一个人的血化验次，若混合呈阳性，则一个人的血化验次.

又k个人的混合血化验是阴性的概率是（1-p）^k，呈阳性的概率是1-（1-p）^k.

于是有分布列

ξ
P	（1-p）k	1-（1-p）k

∴平均化验次数即ξ的数学期望.

∴Eξ=（1-p）^k+ ［1-（1-p）^k］=1+-（1-p）^k.

∴按第二种方案这n个人平均需要化验的次数为n［1+-（1-p）^k］.