Question

已知拋物线C：x²=2py （p＞0）的焦点F在直线x-y+1=0上．
（1）求拋物线C的方程；
（2）设直线l经过点A（-1，-2），且与拋物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）由拋物线方程x²=2py （p＞0），知其焦点在y轴正半轴上，
在直线x-y+1=0中，令x=0，得焦点坐标为F（0，1），所以，即p=2，
故拋物线C的方程是x²=4y．
（2）直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1）-2，
由方程组 消去y，得x²-4kx-4k+8=0，
因为直线l与拋物线C有且只有一个公共点，所以△=16k²-4（8-4k）=0，解得k=-2或k=1．
此时直线l的方程为2x+y+4=0或x-y-1=0；
当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，直线l与拋物线C有且只有一个公共点．
综上，可得当直线l的方程为2x+y+4=0，x-y-1=0或x=-1时，直线l与拋物线C有且只有一个公共点．
分析：（1）先确定抛物线的焦点坐标，即可求得抛物线的方程；
（2）考虑斜率是否存在，利用判别式为0，即可求得结论．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．