Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（2）=0，且方程f（x）=x有相等的实根，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≤t²+ct+1对一切t∈R，x∈R恒成立，求实数C的取值范围；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由f（2）=0可知，4a+2b=0，
又∵f（x）=x有两个相等实根，
可得（b-1）²-4ac=0，解之得a=-，b=1，
故f（x）的解析式为：f（x）=-x²+x．
（2）∵f（x）=-x²+x=-（x-1）²+≤，
∴不等式f（x）≤t²+ct+1对一切t∈R、x∈R恒成立，可得≤t²+ct+1对一切t∈R恒成立，
即t²+ct+≥0对任意t∈R恒成立．
因此，△=c²-2≤0，解之得-≤c≤；
（3）假设存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，
由（1）可知f（x）=-x²+x=-（x-1）²+≤，故4n≤，故m＜n≤，
又∵函数f（x）图象的对称轴为x=1，
∴f（x）在区间[m，n]上单调递增，可得f（m）=4m，f（n）=4n，
解得m=0或m=-6，n=0或n=-6．再由m＜n，可得m=-6，n=0．
综上所述，得存在m=-6，n=0，使得使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]．
分析：（1）根据f（2）=0和f（x）=x有等根，建立关于a、b的二元方程组，解出a、b的值，即可得到f（x）的解析式；
（2）由二次函数的最值，得关于t的不等式即t²+ct+≥0对任意t∈R恒成立．再用根的判别式建立关于c的不等式，解之即可得到实数c的取值范围；
（3）根据f（x）的最大值为，可知若存在满足条件的m、n，则必有n，从而得到在区间[m，n]上函数是增函数，由此建立关于m、n的方程组，解之即可得存在m=-6，n=0，使得使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]．
点评：本题给出二次函数和一元二次不等式恒成立，求函数的表达式并解关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了二次函数的图象与性质、函数恒成立问题和不等式的解法等知识，属于中档题．