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4.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、BD的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面ABC1D1
(Ⅱ)求证:EF⊥B1C
(Ⅲ)求三棱锥A1-ABD1的体积.

分析 (Ⅰ)连结BD1,则EF∥D1B,由此能证明EF∥平面ABC1D1
(Ⅱ)由B1C⊥AB,B1C⊥BC1,知B1C⊥平面ABC1D1,由此能证明EF⊥B1C.
(Ⅲ)三棱锥A1-ABD1的体积${V_{{A_1}-AB{D_1}}}={V_{{D_1}-{A_1}AB}}$,由此能求出结果.

解答 (本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)连结BD1
在△DD1B中,E、F分别为D1D,DB的中点,则EF∥D1B,
又∵D1B?平面ABC1D1,EF?平面ABC1D1
∴EF∥平面ABC1D1.(3分)
(Ⅱ)∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1
AB?平面ABC1D1,BC1?平面ABC1D1
AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1D1
又∵BD1?平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1
而EF∥BD1,∴EF⊥B1C.(8分)
解:(Ⅲ)三棱锥A1-ABD1的体积:
${V_{{A_1}-AB{D_1}}}={V_{{D_1}-{A_1}AB}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}AB}×{A}_{1}{D}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×A{A}_{1}×AB×{A}_{1}{D}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$.(12分)

点评 本题考查线面平行的证明,考查线线垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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