Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0）．数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求a的值及{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}是等比数列，求{b_n}的前项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根据{a_n}是等差数列表示出通项公式，再根据b₃=12求得a₃a₄的值从而可确定a的值，求得{a_n}的通项公式．
（2）先根据{a_n}是等比数列表示出通项公式，进而可表示出b_n的表达式，根据

bn+1

bn

=a²可确定数列{b_n}是首项为a，公比为a²的等比数列，再对公比a等于1和不等于1进行讨论，即可得到最后答案．

解答：解：（1）∵{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂=a（a＞0），∴a_n=1+（n-1）（a-1）．
又b₃=12，∴a₃a₄=12，即（2a-1）（3a-2）=12，
解得a=2或a=-

5

6

，
∵a＞0，∴a=2从而a_n=n．
（2）∵{a_n}是等比数列，a₁=1，a₂=a（a＞0），∴a_n=a^n-1，则b_n=a_na_n+1=a^2n-1．

bn+1

bn

=a²∴数列{b_n}是首项为a，公比为a²的等比数列，
当a=1时，S_n=n；
当a≠1时，Sn=

a(1-a2n)

1-a2

=

a2n+1-a

a2-1

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法和数列求和．高考对数列的考查无外乎通项公式的求法和前n项和的求法，对经常用到的常用方法要熟练掌握．