Question

20．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），b=1，左右两个焦点分别为F₁，F₂．过右焦点F₂且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M，N两点，且|MN|=1．
（1）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}=m-4$，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．

Answer 1

分析 （1）由题意$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，利用过右焦点F₂且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M，N两点，且|MN|=1，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}=m$-4得-4-2x+y=m-4，求出点B关于P的轨迹的对称点，即可确定点P的轨迹方程，

解答 解：（Ⅰ）由题意$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，
设$M（c，y），（y＞0）∴\frac{c^2}{a^2}+{y^2}=1$…（2分）
∴${y^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}$，
∴$y=\frac{1}{a}=\frac{1}{2}，即a=2$…（4分）
∴所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点A（-2，0），点B为（0，-1），设点P的坐标为（x，y）
则$\overrightarrow{PA}=（-2-x，-y）$，$\overrightarrow{AB}=（2，-1）$，…（6分）
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}=m$-4得-4-2x+y=m-4，
∴点P的轨迹方程为y=2x+m…（8分）
设点B关于P的轨迹的对称点为B'（x₀，y₀），
则由轴对称的性质可得：$\frac{{{y_0}+1}}{x_0}=-\frac{1}{2}，\frac{{{y_0}-1}}{2}=2•\frac{x_0}{2}+m$，
解得${x_0}=\frac{-4-4m}{5}，{y_0}=\frac{2m-3}{5}$，…（10分）
∵点B'（x₀，y₀）在椭圆上，∴${（\frac{-4-4m}{5}）^2}+4{（\frac{2m-3}{5}）^2}=4$，
整理得2m²-m-3=0解得m=-1或 $m=\frac{3}{2}$…（12分）
∴点P的轨迹方程为y=2x-1或$y=2x+\frac{3}{2}$，
经检验y=2x-1和$y=2x+\frac{3}{2}$都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为y=2x-1或$y=2x+\frac{3}{2}$…（14分）

点评 本题考查椭圆方程与性质，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．