Question

【题目】设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0 ， y0）
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0 ， |y|=m|y0|
∴x0=x，|y0|= |y|①
∵点A在圆上运动，∴ ②
①代入②即得所求曲线C的方程为
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ ），
m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ ），
（Ⅱ）如图2、3，x1∈（0，1），设P（x1 ， y1），H（x2 ， y2），则Q（﹣x1 ， ﹣y1），N（0，y1），
∵P，H两点在椭圆C上，∴
①﹣②可得 ③
∵Q，N，H三点共线，∴kQN=kQH ， ∴
∴kPQkPH=
∵PQ⊥PH，∴kPQkPH=﹣1
∴
∵m＞0，∴
故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH

【解析】（I）设M（x，y），A（x0 ， y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|= |y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）x1∈（0，1），设P（x1 ， y1），H（x2 ， y2），则Q（﹣x1 ， ﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得 ，从而可得可得 ．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．