Question

10．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为a的菱形，∠BAD=60°，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、H分别为BC、AD的中点，F在PC边上，且PF=2FC．
（1）求证：PH⊥底面ABCD；
（2）求证：PA∥平面DEF；
（3）求三棱锥C-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明PH⊥AD，利用平面与平面垂直的性质定理，可得：PH⊥底面ABCD；
（2）连接AC，交DE于O，连接OF，证明PA∥OF，即可证明：PA∥平面DEF；
（3）利用三棱锥的体积公式，求三棱锥C-DEF的体积．

解答 （1）证明：∵△PAD为正三角形，H为AD的中点，
∴PH⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PH⊥底面ABCD；
（2）证明：连接AC，交DE于O，连接OF，则
∵E为BC的中点，
∴AO=2OC，
∵PF=2FC，
∴PA∥OF，
∵PA?平面DEF，OF?平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（3）解：三棱锥C-DEF的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{{a}^{3}}{48}$．

点评 本题考查直线和平面平行、直线和平面垂直的证明方法和三棱锥C-DEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．