Question

设函数f（x）=x³-3ax²+3bx．
（I）若a=1，b=0，求曲线f（x）=y在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）当b=1时，若函数f（x）在[-1，1]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程即可；
（II）y=f（x）在[-1，1]上单调递增，可转化成在[-1，1]上恒有f′（x）≥0，讨论对称轴与区间[-1，1]的位置关系，求出f′（x）的最小值，使最小值大于等于0，即可求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1，b=0时，f（x）=x³-3x²，所以f（1）=-2  即切点为P（1，-2）
因为f′（x）=3x²-6x 所以 f′（1）=3-6=-3，所以切线方程为y+2=-3（x-1），
即y=-3x+1．
（Ⅱ）y=f（x）在[-1，1]上单调递增，又f′（x）=3x²-6ax+3=3（x²-2ax+1）．
依题意f′（x）在[-1，1]上恒有f′（x）≥0，即x²-2ax+1≥0．
①当x=a＞1时，f′（x）_min=f′（1）=2-2a≥0∴a≤1；所以舍去；
②当x=a＜-1时，f′（x）_min=f′（-1）=1+2a+1≥0∴a≥-1；所以舍去；
③当-1≤a≤1时，f′（x）_min=f′（a）=-a²+1≥0，则-1≤a≤1
综上所述，参数a的取值范围是-1≤a≤1．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．