Question

在等差数列{a_n}中，已知a₅=3，a₁₀=-7，求：
（1）求通项a_n和前n项和S_n；
（2）求S_n的最大值以及取得最大值时的序号n的值；
（3）数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由a₅=3，a₁₀=-7可求得a₁与d，从而可得通项a_n和前n项和S_n；
（2）由（1）知，S_n=12n-n²，对此式配方即可求得S_n的最大值以及取得最大值时的序号n的值；
（3）由

an=13-2n

，对n分n≤

13

2

与n＞

13

2

（n∈N^*）讨论，利用等差数列的求和公式即可求得数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，

a5=a1+4d=3 a10=a1+9d=-7

⇒ a1=11 d=-2

，
∴

an=11-2(n-1)=13-2n

，
Sn=

n(11+13-2n)

2

=12n-n2…（5分）*
（2）∵Sn=12n-n2=-(n-6)2+36，
∴当n=6时，（S_n）_max=36．…（7分）
（3）令

an=13-2n=0

，得n=

13

2

∴当n≤

13

2

时，a_n＞0，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=12n-n²；
当n＞

13

2

时，a_n＜0，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-a₈-…-a_n=n²-12n+72；
综上所述：T_n=

12n-n2(n≤6，n∈N+) n2-12n+72(n≥7，n∈N+)

…（13分）

点评：标题考查数列的求和，着重考查数列的通项公式、求和公式的综合应用，考查数列的函数特性（求最值），考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．