Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F(x)=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0得a-b+1=0①，由x∈R，f（x）的值域为[0，+∞），得∴

a＞0 △=b2-4a=0

②，联立①②可解a，b；
（2）由（1）表示出g（x），根据抛物线对称轴与区间[-2，2]位置可得不等式，解出即可；
（3）由f（x）为偶函数可得b=0，从而可表示出F（x），由mn＜0，不妨设m＞0，n＜0，则m＞-n＞0，即|m|＞|-n|，由此刻判断F（m）+F（n）的符号；

解答：解：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0①，
又x∈R，f（x）的值域为[0，+∞），
∴

a＞0 △=b2-4a=0

②，
由①②消掉a得，b²-4（b-1）=0，
∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²．
∴F(x)=

(x+1)2，x＞0 -(x+1)2，x＜0

；
（2）由（1）知，g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=(x+

2-k

2

)2+1-

(2-k)2

4

，
当

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．
（3）∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=ax²+1，F(x)=

ax2+1(x＞0) -ax2-1(x＜0)

，
∵m•n＜0，设m＞n，则n＜0．
又m+n＞0，
∴m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|，
F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查二次函数的有关性质，考查学生分析解决问题的能力．