Question

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m。
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°；
（2）在线段A₁C上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q⊥AP，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)， D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，2)， 所以，  又由知为平面的一个法向量， 设AP与面所成的角为θ， 则，， 解得：， 故当时，直线AP与平面所成角为60°。
（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x， 则， 依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP， 等价于  ， 即Q为A1C1的中点时，满足题设的要求。