Question

（2013•闸北区一模）假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在实数集R上是单调函数，可知指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）存在反函数y=f^-1（x），x∈（0，+∞）．请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题：
（1）对于任意的正实数x₁，x₂，都有f^-1（x₁x₂）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函数y=f^-1（x）是单调函数．

Answer 1

分析：（1）利用指数函数的性质和反函数的定义即可证明；
（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1讨论，利用指数函数的单调性即可证明．

解答：证明：（1）设y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2)，
由题意，有x1=ay1，x2=ay2，
∴x1x2=ay1•ay2=ay1+y2，
∴y1+y2=f-1(x1x2)，即f^-1（x₁x₂）=f^-1（x₁）+f^-1（x₂）．         
（2）当a＞1时，y=f^-1（x）是增函数．
证明：设x₁＞x₂＞0，即ay1＞a y2＞0，
又由指数函数y=a^x（a＞1）是增函数，得y₁＞y₂，即f-1(x1)＞f-1(x2)．                                       
∴当a＞1时，y=f^-1（x）是增函数．                              
同理，当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数．

点评：熟练掌握指数函数的单调性和反函数的定义是解题的关键．