Question

【题目】已知函数f（x）= +acosx，g（x）是f（x）的导函数．
（1）若f（x）在 处的切线方程为y= ，求a的值；
（2）若a≥0且f（x）在x=0时取得最小值，求a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，当x＞0时， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x﹣asinx，

f′（ ）= ﹣a= ，

∴a=﹣1，经验证a=﹣1合题意

（2）解：g（x）=f′（x）=x﹣asinx g′（x）=1﹣acosx

①当a=0时，f（x）= x2，显然在x=0时取得最小值，

∴a=0合题意；

②当a＞0时，

（i）当 ≥1即0＜a≤1时，g′（x）≥0恒成立，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又g（0）=0

∴当x＜0时，g（x）＜0 即f′（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0 即f′（x）＞0

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

∴f（x） 在x=0时取得最小值

∴当0＜a≤1时合题意；

（ii）当0＜ ＜1即a＞1时，在（0，π）内存在唯一x0=arccos 使g′（x）=0

当x∈（0，x0）时，

∵y=cosx在（0，π）上是单调递减的，

∴cosx＞cosx0=

∴g′（x）=a （ ﹣cosx）＜0，

∴g（x） 在（0，x0）上单调递减，

∴g（x）＜g（0）=0

即f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，x0）内单调递减；

∴x∈（0，x0）时，f（x）＜0 这与f（x）在x=0时取得最小值即f（x）≥f（0）矛盾，

∴当a＞1时不合题意；

综上，a的取值范围是0，1]

（3）解：由（1）知，a=﹣1 此时g（x）=x+sinx，g′（x）=1+cosx，

∴ = =|cos |≥cos ，

∴若要证原不等式成立，只需证cos + x2＞ 成立；

由（2）知，当a=1时，f（x）≥f（0）恒成立，即 x2+cosx≥1恒成立

即cosx≥1﹣ x2（当且仅当x=0时取“=“号），

∴cos ≥1﹣ x2（当且仅当x=0时取“=“号） …①

∴只需证：1﹣ x2+ x2＞ 成立，即1+ x2＞ ，

又由均值不等式知：1+ x2≥x（当且仅当x=2时取“=“号） …②

∵①②两个不等式取“=“的条件不一致，

∴只需证：x≥ ，

两边取对数得：lnx≥1﹣ …③

下面证③式成立：令（x）=lnx﹣1+ ，

则′（x）= ﹣ = ，

∴（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增

∴（x）≥（1）=0，

即lnx﹣1+ ≥0，

∴lnx≥1﹣ ，

即③式成立，

∴原不等式成立．

【解析】（1）先求导，根据导数和几何意义即可求出，（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出参数的取值范围，（3）原不等式转化为cos + x2＞ 成立，分别根据均值不等式和导数和函数的最值得关系即可证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本求导法则和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．