Question

【题目】一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．

（1）判断f1（x）=x，f2（x）=log2（6+2sinx-cos2x）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；

（2）若函数g（x）=lnx（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，求M的最小值；

（3）若函数h（x）=sinx（x∈（0，A））是“保三角形函数”，求A的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）2 ； （3）.

【解析】

（1）不妨设a≤c，b≤c，由函数的值域，即可得到结论；

（2）要利用“保三角形函数”的概念，求M的最小值，首先证明当M≥2时，函数h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，然后证明当0＜M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，从而求出所求；

（3）A的最大值是，讨论①当A时；②当A时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．

（1）不妨设a≤c，b≤c，

由a+b＞c，可得f1（a）+f1（b）＞f1（c），

即有f1（x）=x为“保三角形函数”；

由6+2sinx-cos2x=sin2x+2sinx+5=（sinx+1）2+4∈[4，8]，

可得f2（x）∈[2，3]，即有2+2＞3，

可得f2（x）为“保三角形函数”；

（2）M的最小值为2

（i）首先证明当M≥2时，函数h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数．

对任意一个三角形三边长a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，

则h（a）＝lna，h（b）＝lnb，h（c）＝lnc．

因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，

即lna+lnb＞lnc．

同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．

所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．

故函数h（x）＝lnx （x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函数…13分

（ii）其次证明当0＜M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数　

因为0＜M＜2，所以M+M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，

而lnM+lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h（x）＝lnx 不是保三角形函数．

所以，当M＜2时，h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数．

综上所述：M的最小值为2

（3）A的最大值是．

①当A＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，A），

且可以作为某个三角形的三边长，

但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，

故此时，h（x）=sinx，x∈（0，A）不是保三角形函数．

②当A=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），

若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π--=，

即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），

∴sina、sinb、sinc∈（，1]．

由此可得sina+sinb＞+=1≥sinc，即sina +sinb＞sinc，

同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，

故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．

若a+b+c＜2π，则+＜π，

当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，

∴0＜sin＜sin≤1．

当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，

∴0＜sin＜sin＜1．

综上可得，0＜sin＜sin≤1．

再由|a-b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，

可得cos=cos＞cos＞cos＞0，

∴sina+sinb=2sincos＞2sincos=sinc，

同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，

故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．

故当A=时，h（x）=sinx，x∈（0，A）是保三角形函数，

故A的最大值为．