Question

若函数数f(x)=

1

2

x2-

a

b

x-

1

b

在x=0处的切线l与圆C：x²+y²=1相离，则P（a，b）与圆C的位置关系是（　　）

A．在圆内

B．在圆外

C．在圆上

D．不能确定

Answer 1

分析：利用导数求出函数f(x)=

1

2

x2-

a

b

x-

1

b

在x=0处的切线l的方程，由l与圆C：x²+y²=1相离得到圆心（0，0）到直线l的距离大于圆的半径，整理后得到

a2+b2

＜1．从而得到答案．

解答：解：由f(x)=

1

2

x2-

a

b

x-

1

b

，得f′(x)=x-

a

b

，
∴f′（0）=-

a

b

，又f（0）=-

1

b

．
∴函数f(x)=

1

2

x2-

a

b

x-

1

b

在x=0处的切线l为：y+

1

b

=-

a

b

(x-0)，即ax+by+1=0．
∵l与圆C：x²+y²=1相离，
∴圆心（0，0）到直线l的距离大于圆的半径1．
即

1

a2+b2

＞1，

a2+b2

＜1．
∴P（a，b）在圆x²+y²=1的内部．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，是中档题．