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2.已知命题p:焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e∈(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$);q:点P(1,-1)在圆x2+y2-4x+7-m=0外.若p∧q为真命题,求实数m的取值范围.

分析 对于命题p:由于椭圆的焦点在x轴上,则4>m>0,且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{m}{4}}$∈(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),解得m范围;q:利用点与圆的位置关系可得m的取值范围.求出其交集即可得出.

解答 解:命题p:焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1,则4>m>0,e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{m}{4}}$∈(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),解得2<m<4;
q:∵点P在圆x2+y2-4x+7-m=0外.把点P(1,-1)代入圆的方程可得:12+(-1)2-4×1+7-m>0,解得m<5.
∵p∧q为真命题,∴$\left\{\begin{array}{l}{2<m<4}\\{m<5}\end{array}\right.$,解得2<m<4.
∴实数m的取值范围是2<m<4.

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、椭圆的性质、点与圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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