Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知四边形ABCD内接于ΘO，且AB是的ΘO直径，过点D的ΘO的切线与BA的延长线交于点M．
（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；
（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用MD为⊙O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可．
（2）推出∠AMD=∠ADM，连接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通过AB是⊙O的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，对角和180°，求出∠DCB即可．
解答：选修4-1：几何证明选讲
解：（1）因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，
MD²=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，…（2分），
所以MA=3，AB=12-3=9．…（5分）
（2）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，
由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，（7分）
又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°-∠ABD．
又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，
于是90°-∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．…（8分）
又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，
所以∠DCB=120°…（10分）
点评：本题考查圆的内接多边形，切割线定理的应用，基本知识的考查．