Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别是，点是的中点，若，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）由题意可得，①,由,可得,即有②,由①②解得,．．．．．．．． 3分

故椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

（2）设，. ………………6分

由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，所以，． ．．．．．．8分

因为直线与椭圆交于不同的两点，

所以，即，则

．．．．．．．．．．．．．．10分

令，则，则，令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，即当时，在上单调递增，因此有，所以，即当，即时，最大，最大值为3．．．．．．．． 12分

【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，构建代数方法解决几何问题等基础知识，意在考查学生的转化与化归能力，综合分析问题、解决问题的能力，推理能力和运算能力．