Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c的导函数为f′（x），对?x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则

b2

a2+2c2

的最大值为（　　）

• A、

  6

  +2
• B、

  6

  -2
• C、2

  2

  +2
• D、2

  2

  -2

Answer 1

考点：基本不等式,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由二次函数f（x）=ax²+bx+c，可得导函数为f′（x）=2ax+b，于是不等式f（x）≥f′（x）化为ax²+（b-2a）x+c-b≥0．由于对?x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，可得

a＞0 △=(b-2a)2-4a(c-b)≤0

，化为b²≤4ac-4a²．可得

b2

a2+2c2

≤

4ac-4a2

a2+2c2

=

4( c a -1)

1+2( 2 a )2

，令

c

a

=t＞1，可得

4( c a -1)

1+2( 2 a )2

=

4(t-1)

2t2+1

=

4

2(t-1)+ 3 t-1 +4

，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：由二次函数f（x）=ax²+bx+c，可得导函数为f′（x）=2ax+b，
∴不等式f（x）≥f′（x）化为ax²+（b-2a）x+c-b≥0．
∵对?x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，
∴

a＞0 △=(b-2a)2-4a(c-b)≤0

，
化为b²≤4ac-4a²．
∴

b2

a2+2c2

≤

4ac-4a2

a2+2c2

=

4( c a -1)

1+2( 2 a )2

，
令

c

a

=t＞1，则

4( c a -1)

1+2( 2 a )2

=

4(t-1)

2t2+1

=

4(t-1)

2(t-1)2+4(t-1)+3

=

4

2(t-1)+ 3 t-1 +4

≤

4

2 2(t-1)• 3 t-1 +4

=

2

6 +2

=

6

-2，当且仅当t=

6

2

+1时 取等号．
∴

b2

a2+2c2

的最大值为

6

-2．
故选：B．

点评：本题考查了导数的运算法则、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．