Question

如图，一船由西向东航行，测得某岛M的方位角为α，前进5km后，测得此岛的方位角为β，已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行，
（1）若α=60°，β=45°，问该船有无触礁危险？
（2）当α，β满足什么条件时，该船有触礁的危险？

Answer 1

分析：（1）确定∠AMC、∠BMC，利用AB=5，求出MC与3比较，即可得到结论；
（2）求出AC、BC可得MC，当且仅当MC≤3时，该船有触礁危险．

解答：解：（1）∵α=60°，β=45°，∴在Rt△MCA，∠AMC=60°，Rt△MCB中，∠BMC=45°，
∵AB=5，∴

3

MC-MC=5
∴MC=

5

3 -1

=

5( 3 +1)

2

＞3
∴该船没有触礁危险．------------------（8分）
（2）在Rt△MCA，AC=tanα•MC，Rt△MCB中，BC=tanβ•MC
∴AB=AC-BC=tanα•MC-tanβ•MC=5，∴MC=

5

tanα-tanβ

∴当

5

tanα-tanβ

≤3时，该船有触礁危险．-------------------（16分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题轭能力，属于基础题．