Question

7．某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部为底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD．上部为直四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂．
（1）证明：直线BD⊥平面ACC₂A₂．
（2）现需要对该零件表面进行防腐处理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（单位：厘米）每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

Answer 1

分析 （1）依题意易证AC⊥BD，AA₂⊥BD，由线面垂直的判定定理可证直线BD⊥平面ACC₂A₂；
（2）需计算上面四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的表面积（除去下底面的面积）S₁，四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD的表面积（除去下底面的面积）S₂即可．

解答 （1）证明：∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的侧面是全等的矩形，
∴AA₂⊥AB，AA₂⊥AD，又AB∩AD=A，
∴AA₂⊥平面ABCD．
连接BD，
∵BD?平面ABCD，
∴AA₂⊥BD，
又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又AA₂∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₂A₂；
（2）解：∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，侧面是全等的矩形，
∴S₁=S_{四棱柱下底面}+S_{四棱柱侧面}
=A₂B₂²+4AB•AA₂
=10²+4×10×30
=1300（cm²）
又∵四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
∴S₂=S_{四棱柱下底面}+S_{四棱台侧面}
=A₁B₁²+4×$\frac{1}{2}$（AB+A₁B₁）•h_{等腰梯形的高}
=20²+4×$\frac{1}{2}$（10+20）•$\sqrt{1{3}^{2}-[\frac{1}{2}（20-10）]^{2}}$
=1120（cm²），
于是该实心零部件的表面积S=S₁+S₂=1300+1120=2420（cm²），
故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱、棱台的侧面积和表面积，着重考查分析转化与运算能力，属于中档题．