Question

在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于B，构成一个三棱锥(如图所示)．

（Ⅰ）在三棱锥上标注出、点，并判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（Ⅱ）是线段上一点，且,问是否存在点使得,若存在，求出的值;若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求多面体E-AFNM的体积．

Answer 1

（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）通过翻折可知B点和C点对应的位置.所以可以相应地找到M,N点的位置.然后说明直线与平面AEF平行.
（Ⅱ）根据题意证得直线AB平面AEF.所以只需要动点G与点B重合即可得到AB平面EGF.所以可得.本小题虽然是动点的问题但是通过证明线面垂直后再把动点移到特殊的位置即可.
（Ⅲ）由于AB垂直于平面BEF，所以易计算三棱锥A-BEF的体积.同时四棱锥E-AFNM的体积与三棱锥E-BMN的体积比等于它们底面积的比.体积比转化为面积比的问题.从而可求出四棱锥E-AFMN的体积.本小题的体积求法有点技巧，要学会相互转化.
试题解析：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN应是的一条中位线，如图所示.

则                            2分
证明如下：． 4分
（Ⅱ）存在点使得，此时
因为面EBF
又是线段上一点，且,
∴当点与点B重合时，此时              8分
（Ⅲ）因为
且，
∴，                   9分
又
           12分