Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB=1，AD=CD=2，E在线段PD上．若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P-ABCD的侧视图的面积（　　）

• A．3
• B．

  55

  10

• C．

  55

  5

• D．6

Answer 1

分析：如图所示，该几何体的侧视图，再作出异面直线BC与PD所成的角∠PDM，先利用已知条件线面垂直及勾股定理表示出PM、PD、MD，在△PMD中使用余弦定理即可求得PB的长，进而求得答案．

解答：解：如图所示，过点D作DM∥BC交BA的延长线于M，∵AB∥CD，可得平行四边形BCDM．
连接PM，则∠PDM为异面直线BC与PD的夹角，∴∠PDM=60°．
设PB=x，在Rt△DAB中，由勾股定理得BD=

22+12

=

5

．
同理在Rt△PBD中，PD=

PB2+BD2

=

x2+5

；
在Rt△ADM中，MD=

22+12

=

5

，在Rt△PBM中，PM=

x2+22

=

x2+4

．
在△PDM中，由余弦定理得PM²=MD²+PD²-2MD×PDcos60°，
∴x²+4=5+x²+5-2

5

×

x2+5

×

1

2

，化为5x²=11，∴x=

55

5

．
由已知可得该几何体的侧视图如图所示的Rt△PBF，其中BF=2，
∴S_侧视图=

1

2

×2×x=

55

5

．
故选C．

点评：本题考查了侧视图的面积，正确画出侧视图、如何作出异面直线所成的角和由已知计算出高PB是解决问题的关键．