Question

4．已知函数f（x）=ln（ax+1）+x²-ax-m（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，函数f（x）存在3个零点x₁，x₂，x₃，设x₁＜x₂＜0＜x₃，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，利用二次函数对参数进行讨论．
（2）求导，利用导函数判断函数的极值，利用极值模拟函数图象，结合函数零点的个数得出极值的范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{ax+1}$+2x-a=$\frac{2a{x}^{2}+2x-{a}^{2}x}{ax+1}$   函数的定义域为（-$\frac{1}{a}$，+∞）
当a＞$\sqrt{2}$时
在（-$\frac{1}{a}$，0），（ $\frac{{a}^{2}-2}{2a}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
在（0，$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$）f′（x）＜0，f（x）是减函数．
当a=$\sqrt{2}$时，f（x）在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）是增函数．
当0＜a＜$\sqrt{2}$时
在（-$\frac{1}{a}$，$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$），（ 0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
f（x）在（$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$，0）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
（2）当a=1时，f（x）=ln（x+1）+x²-x-m
f′（x）=$\frac{x（2x+1）}{x+1}$
令f′（x）=0得：x=0和x=-$\frac{1}{2}$
在（-1，-$\frac{1}{2}$），（0，+∞）f′（x）＞0，f（x）递增，
在（-$\frac{1}{2}$，0）上，f′（x）＜0，f（x）递减，
∴f（-$\frac{1}{2}$）为极大值，f（0）为极小值
若使函数f（x）存在3个零点x1，x2，x3，设x1＜x2＜0＜x3
则：f（-$\frac{1}{2}$）＞0且f（0）＜0
∴0＜m＜$\frac{3}{4}$-ln2

点评 考察了利用导函数判断函数的单调性，对二次函数参数的讨论问题，极值的判断和对题意的理解．