Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为

2

-1，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 过点M（0，-

1

3

）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设椭圆的焦距为2c，则由题设得关于a，b．c的方程，解此方程组得a=

2

，b=1．最后写出椭圆C的方程即可；
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在点T（u，v）．若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-

1

3

，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可求得点T的坐标，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，
则由题设可知

a-c= 2 -1 a2 c -c=b

，
解此方程组得a=

2

，b=1．
所以椭圆C的方程是

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）假设存在点T（u，v）．若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-

1

3

，
将它代入椭圆方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0
设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9 .

…（7分）
因为

TA

=(x1-u，y1-v)， 

TB

=(x2-u，y2-v)及y1=kx1-

1

3

，y2=kx2-

1

3

，
所以

TA

•

TB

=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)=(k2+1)x1x2-(u+

1

3

k+kv)(x1+x2)+u2+v2+

2v

3

+

1

9

=

(6u2+6v2-6)k2-4ku+(3u2+3v2+2v-5)

6k2+3

…（10分）
当且仅当

TA

•

TB

=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，
所以

6u2+18v2-18=0 u=0 3u2+3v2+2v-5=0.

解得u=0，v=1．
此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…（12分）
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为x²+y²=1也过点T（0，1）．
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件．…（14分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、向量的坐标运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．