Question

【题目】如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边且AD= ，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若在线段AC上存在一点E，使ED与平面BCD成30°角，试求二面角A﹣BD﹣E的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取BC的中点O，连结AO，DO，

∵BD=CD，AB=AC，

∴AO⊥BC，OD⊥BC，又OA∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD，

又AD平面AOD，

∴AD⊥BC

（2）解：在平面AOD中，过O作OD的垂线Oz，则OC，OD，Oz两两垂直，

以O为原点，以OC，OD，Oz为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

∵BD=CD=1，AD= ，AC⊥CD，AB⊥BD，△ABC是等边三角形，

∴BC=AB=AC= ，∴OD= BC= ，OA= ，

∴cos∠AOD= =﹣ ，

∴A（0，﹣ ，1），C（ ，0，0），D（0， ，0），

∴ =（﹣ ，﹣ ，1）， =（ ，﹣ ，0），设 =（﹣ λ，﹣ λ，λ），

则 = =（ ﹣ λ，﹣ ﹣ λ，λ），

∵平面BCD的一个法向量为 ，

∵ED与平面BCD成30°角，

∴cos＜ ， ＞= = = ，解得λ= ，

∴ =（ ，﹣ ， ），又B（﹣ ，0，0），

∴ =（ ，﹣ ，1）， =（ ， ，0），

设平面BDE的法向量 =（x，y，z），则 ，即 ，

令y=﹣1则 =（1，﹣1，﹣2），同理可得平面ABD的法向量为 =（1，﹣1，﹣ ），

∴ = = = ，设平面ABD与平面ACD成角为θ，

则 ，

∴ ．

【解析】（1）取BC的中点O，连结AO，DO，由三线合一可得BC⊥OD，BC⊥AO，故而BC⊥平面AOD，于是BC⊥AD；（2）以O为原点建立空间坐标系，根据ED与平面BCD成30°角得出E点坐标，求出平面ABD与平面BDE的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．
【考点精析】利用空间中直线与直线之间的位置关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．