Question

12．若曲线y=2x-alnx（a＜2）的-条切线l与直线y=x-5平行，且两直线距离为3$\sqrt{2}$，则a=1．

Answer 1

分析 设切点为（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得斜率相等，再设切线l：y=x+t，运用平行线的距离公式可得t，解方程即可得到所求a的值．

解答 解：设切点为（m，n），y=2x-alnx的导数为y′=2-$\frac{a}{x}$，
由切线l与直线y=x-5平行，
可得切线的斜率为2-$\frac{a}{m}$=1，
可设切线l：y=x+t，由两直线距离为3$\sqrt{2}$，
可得3$\sqrt{2}$=$\frac{|t+5|}{\sqrt{2}}$，解得t=1或-11．
若切线为y=x+1，可得n=m+1，
又n=2m-alnm，解方程可得a=1；
若切线为y=x-11，可得n=m-11，
又n=2m-alnm，可得m-mlnm=-11，
设f（m）=m-mlnm+11，由f（9）=9-9ln9+11＞0，
f（10）=10-10ln10+11＜0，
即有m-mlnm=-11的解介于9到10之间．
故答案为：1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，以及运算求解的能力，属于中档题．