【题目】已知若干个长方体盒子，其棱长均为不大于正奇数
的正整数（允许三棱长相同），且盒壁厚度忽略不计，每个盒子的三组对面分别染为红、蓝、黄三色，若没有一个盒子能以同色面平行的方式装入另一个盒子中，则称这些盒子是“和谐的”，求最多有多少个和谐盒子？
【答案】
【解析】
设和谐盒子最多有
个，在空间直角坐标系中，坐标面
，
，
分别染为红、蓝、黄三色，将上述盒子放入坐标系中，使其共顶点的三面分别放入同色的坐标面中，则每个盒子与一个整数有序数组
一一对应，其中，
、
、
、
，、、
.从而，和谐盒子集合对应一个空间直角坐标系中的点集
，
，满足对于任意中的两点
，
，有
， ①其中，
.
设
，其中，
，令
，
.显然，中任意两点至多有一个分量相同，即
，且对任意
，
，有
. ②
将
中各元按
分量的大小排序，记为
，其中，
.由式①知
.故
，如图，在
坐标平面内记
，
，其中，
，
，
，
.从而，式②等价于
. ③
对于
，若
，则将所有
中的点并入中，将新集合记为
，则
仍满足式③，对继续上述调整，直至
，此时，仍记为
，将各点依次连成一条折线，则所有组成
中互不相交
条折线，故
，当
，即
时，上式等号成立.
综上，和谐盒子至多有个.
手拉手全优练考卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三理科数学试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的理科考生中随机抽取了100名考生的数学成绩（满分150分），将数据分成9组：
，
，
，
，
，
，
，
，
，并整理得到如图所示的频率分布直方图．用统计的方法得到样本标准差
，以频率值作为概率估计值．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求抽取的100名理科考生数学成绩的平均分
及众数
；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取3个，记理科数学成绩位于区间
内的个数为
，求的分布列及数学期望
；
（Ⅲ）从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份，记其成绩为
，依据以下不等式评判（
表示对应事件的概率）：
①
，②
，
③
，其中
．
评判规则：若至少满足以上两个不等式，则给予这套试卷好评，否则差评．试问：这套试卷得到好评还是差评？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】平面直角坐标系
中，直线
的参数方程是
（
为参数)，以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．将曲线上每一点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变）得到曲线
．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知点
，若直线与曲线交于
，
两点，且
，求直线的斜率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第
年需要付出的超市维护和工人工资等费用为
万元，已知
为等差数列，相关信息如图所示.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（Ⅲ）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利
）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】考虑
的方格表，其中每个方格内均填有数字0．每次操作可先选定三个实数
、
、
，然后选定一行，将这一行每个方格中的数都加上
（
为该方格所在的列数，
）；或选定一列，将这一列每个方格中的数都加上
（
为该方格所在的行数，
），问：能否经过有限次操作，使该方格表中四个角的数字变成1，而其他格的数字仍为0？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】将
方格表的每个方格任意填入
或
，然后允许进行如下操作：每次任意选择一行（或列），将这一行（或列）中的数全部变号.若无论开始时方格表的数怎样填，总能经过不超过
次操作，使得方格表每一行中所有数的和、每一列中所有数的和均非负.试确定的最小值
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ）
A.18B.24C.30D.36
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