Question

如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB="4," BC="CD=2, " ="2, " E、分别是棱AD、A的中点.   

（1）     设F是棱AB的中点,证明：直线E//平面FC；
（2）     证明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

Answer 1

19.证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，
连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB="4," CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，所以CF₁//A₁D，
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE₁//A₁D，
所以CF₁//EE₁，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.
（2）连接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以CC₁⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB="4," BC=2,
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，
,△ACF为等腰三角形，且
所以AC⊥BC, 又因为BC与CC₁都在平面BB₁C₁C内且交于点C,  所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

略